Question

已知A，B，P為橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1（m，n＞0）上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積k_PA•k_PB=-2，則該橢圓的離心率為

2

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的對稱性可知A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)出A，B和P的坐標(biāo)，把A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程可求得直線PA和直線PB的斜率之積，進(jìn)而求得m和n的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的離心率公式即可得出答案．

解答：解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x，y），
則

x12

m2

-

y12

n2

=1，有k_PA•k_PB=-

m2

n2

=-2，∴

m2

n2

=2．
∴e=

1- n2 m2

=

1- 1 2

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．涉及了雙曲線的對稱性質(zhì)，考查了學(xué)生對雙曲線基礎(chǔ)知識的全面掌握．