Question

7．已知x，y∈R⁺，且滿足$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{4}$=1，則$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值是12-4$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 利用已知條件，結(jié)合基本不等式求解表達(dá)式的最值即可．

解答 解：x，y∈R⁺，且滿足$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{4}$=1，
則$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）（$\frac{x}{3}$+$\frac{y}{4}$）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$+$\frac{2x}{3y}+\frac{y}{4x}$≥$\frac{5}{6}$+$2\sqrt{\frac{2x}{3y}×\frac{y}{4x}}$=$\frac{5}{6}+\frac{2\sqrt{6}}{6}$=$\frac{5+2\sqrt{6}}{6}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=3$\sqrt{6}-6$，y=$\frac{12}{3+\sqrt{6}}$=12-4$\sqrt{6}$時(shí)，取等號．
表達(dá)式的最小值12-4$\sqrt{6}$．
故答案為：12-4$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．