Question

9．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=4，則過點(diǎn)（3，5）并與圓C相切的切線方程為5x-12y+45=0或x=3．

Answer 1

分析 確定出圓的圓心的坐標(biāo)，并判斷得到已知點(diǎn)在圓外，分兩種情況：當(dāng)切線的斜率不存在時，得到x=3為圓的切線；當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的斜率為k，由（3，5）和設(shè)出的k寫出切線的方程，根據(jù)直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，讓d等于圓的半徑即可列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所設(shè)的切線方程即可確定出切線的方程．綜上，得到所有滿足題意的切線的方程．

解答 解：圓C：（x-1）²+（y-2）²=4，圓心坐標(biāo)為（1，2），圓的半徑r=2
由（3，5）到圓心的距離為$\sqrt{13}$＞r=2，得到（3，5）在圓外，
∴①當(dāng)切線方程的斜率存在時，設(shè)方程為y-5=k（x-3）
由圓心到切線的距離d=$\frac{|-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=r=2，
化簡得：12k=5，可解得k=$\frac{5}{12}$，
∴切線方程為5x-12y+45=0；
②當(dāng)過（3，5）斜率不存在直線方程為x=3與圓相切．
由①②可知切線方程為5x-12y+45=0或x=3．
故答案為：5x-12y+45=0或x=3．

點(diǎn)評 此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時所滿足的條件，靈活運(yùn)用垂徑定理及勾股定理化簡求值，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值，是一道綜合題．