在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)滿足
OC
=-
OA
+2
OB
．
（1）試用
AB
表示
AC
；
（2）已知A（1，cosx），B（1+sinx，cosx），x∈[0，
π
2
]，f（x）=
OA
•
OC
-2（m2+1）|
AB
|的最小值為
1
2
，求實(shí)數(shù)m的值．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：綜合題,平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由
OC
=-
OA
+2
OB
，得
OC
-
OB
=-
OA
+
OB
，利用減法的三角形法則可得結(jié)果；
（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算可得f（x）=-sin2x-2m2sinx+2，令t=sinx，則可化為二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得最小值，令其為
1
2
可求m．
解答： 解：（1）由
OC
=-
OA
+2
OB
，得
OC
-
OB
=-
OA
+
OB
，即
BC
=
AB
．
∴
AC
-
AB
=
AB
，
∴
AC
=2
AB
．
（2）
OC
=-
OA
+2
OB
=（-1，-cosx）+2（1+sinx，cosx）=（2sinx+1，cosx），
OA
•
OC
=（1，cosx）•（2sinx+1，cosx）=2sinx+1+cos2x，|AB|=sinx，
∴f（x）=
OA
•
OC
-2（m2+1）|
AB
|=2sinx+1+cos2x-2（m2+1）sinx，
=-sin2x-2m2sinx+2，
令t=sinx，∵x∈[0，
π
2
]，∴t∈[0，1]，
則-sin2x-2m2sinx+2=-t2-2m2t+2在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴f（x）的最小值為-1-2m2+2=
1
2
，即m2=
1
4
，
∴m=±
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、二次函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，滿足3a2+3b2=c2+4ab，現(xiàn)設(shè)f（x）=tanx，則（　�。�
A、f（sinA）≤f（cosB）
B、f（sinA）≥f（cosB）
C、f（sinA）≤f（sinB）
D、f（cosA）≤f（cosB）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-2　矩陣與變換
已知矩陣M=
a1
c0
的一個(gè)特征根為-1，屬于它的一個(gè)特征向量
1
-3
．
（1）求矩陣M；
（2）求曲線x2+y2=1經(jīng)過(guò)矩陣M所對(duì)應(yīng)的變換得到曲線C，求曲線C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知以原點(diǎn)為中心，F(xiàn)（
3
，0）為右焦點(diǎn)的橢圓C，過(guò)點(diǎn)F垂直于x軸的弦AB長(zhǎng)為4．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)M、N為橢圓C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且
OM
⊥
ON
，點(diǎn)P為橢圓C的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，求
PM
•
PN
取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0．求證：
ad+bc
bd
+
bc+ad
ac
≥4；
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，a+b+c=1，證明：
a+
2
3
+
b+
2
3
+
c+
2
3
≤3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在底面是菱形的四棱錐S-ABCD中，SA=SC=2a，SB=SD=
2
a，E是SC上的一點(diǎn)且SE=λa（0＜λ≤a），求證：對(duì)任意λ∈（0，a]，都有BD⊥AE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
m
=（2sinx，2cosx），
n
=（cos
π
3
，-sin
π
3
），f（x）=
m
•
n
+1
（Ⅰ）求f（
π
2
）的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（
π
2
x），求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）；
（Ⅲ）若函數(shù)h（x）=
sin•f2(x+
π
3
)-8
1+cos2x
在區(qū)間[-
5π
4
，
5π
4
]上的最大值為M，最小值為m，求M+m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

化簡(jiǎn)：2sin22α+
3
sin4α-
4tan2α
sin8α
•
1-tan22α
(1+tan22α)2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+3•2n-1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）令bn=n（an+1），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

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同步練習(xí)冊(cè)答案