Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，方程為x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，且AC和BD分別在x軸和y軸上.

(1)求證：F＜0；

(2)若四邊形ABCD的面積為8，對角線AC的長為2，且＝0，求D²＋E²－4F的值；

(3)設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點為G，OH⊥AB且垂足為H.試用平面解析幾何的研究方法判斷點O、G、H是否共線，并說明理由.

Answer 1

(1)方法一：由題意，原點O必定在圓M內(nèi)，即點(0,0)代入方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0的左邊所得的值小于0，于是有F＜0，即證.

方法二：由題意，不難發(fā)現(xiàn)A、C兩點分別在x軸正、負半軸上.設(shè)兩點坐標(biāo)分別為A(a,0)，C(c,0)，則有ac＜0.對于圓的方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，當(dāng)y＝0時，可得x²＋Dx＋F＝0，其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標(biāo)，于是有x_Ax_C＝ac＝F.因為ac＜0，故F＜0.

(2)不難發(fā)現(xiàn)，對角線互相垂直的四邊形ABCD的面積

S＝，因為S＝8，

|AC|＝2，可得|BD|＝8.

又因為＝0，所以∠BAD為直角，又因為四邊形是圓M的內(nèi)接四邊形，故|BD|＝2r＝8⇒r＝4.

對于方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0所表示的圓，

可知＋－F＝r²，所以D²＋E²－4F＝4r²＝64.

(3)設(shè)四邊形四個頂點的坐標(biāo)分別為A(a,0)，B(0，b)，C(c,0)，D(0，d).

則可得點G的坐標(biāo)為(，)，即＝(，).

又＝(－a，b)，且AB⊥OH，故要使G、O、H三點共線，只需證＝0即可.

而＝，且對于圓M的一般方程x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，

當(dāng)y＝0時可得x²＋Dx＋F＝0，其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標(biāo)，

于是有x_Ax_C＝ac＝F.

同理，當(dāng)x＝0時，可得y²＋Ey＋F＝0，其中方程的兩根分別為點B和點D的縱坐標(biāo)，于是有y_By_D＝bd＝F.

所以，＝＝0，即AB⊥OG.

故O、G、H三點必定共線.