對稱軸為坐標(biāo)軸,頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線C經(jīng)過兩點(diǎn)A(a,2a)、B(4a,4a),(其中a為正常數(shù)).
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)動點(diǎn)T(m,0)(m>a),直線AT、BT與拋物線C的另一個交點(diǎn)分別為A1、B1,當(dāng)m變化時,記所有直線A1B1組成的集合為M,求證:集合M中的任意兩條直線都相交且交點(diǎn)都不在坐標(biāo)軸上.
分析:(1)由于兩點(diǎn)在第一象限內(nèi),故拋物線開口向右或向上,由此分兩種情況利用待定系數(shù)法求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)先將點(diǎn)A1、B1的坐標(biāo)用a、m表示,再利用點(diǎn)斜式寫出直線A1B1的方程,證明其斜率隨m的變化而單調(diào)變化,即可證明集合M中的任意兩條直線都相交,證明直線的截距不為零即可證明交點(diǎn)都不在坐標(biāo)軸上.
解答:解:(1)當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在x軸上時,設(shè)拋物線方程y2=2Px,
4a2=2pa
16a2=8pa
∴P=2a
∴y2=4ax
當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在y軸上時,設(shè)拋物線方程x2=2py
a2=4pa
16a2=8pa
∴方程無解,拋物線不存在
∴拋物線C的方程y2=4ax
(2)設(shè)A1(as2,2as)、B1(at2,2at)  T(m,0)(m>a)
∵kTA=kTA1
2a
a-m
=
2as
as 2-m

∴as2+(m-a)s-m=0
∵(as+m)(s-1)=0∴S=-
m
a

∴A1
m 2
a
,-2m) 
∵kTB=kTB1
4a
4a-m
=
2at
at 2-m

∵2at2+(m-4a)t-2m=0∴(2at+m)(t-2)=0
∴t=-
m
2a
∴B1
m 2
4a
,-m) 
∴l(xiāng)A1B1的直線方程為y+2m=
-2m+m
m 2
a
-
m 2
4a
(x-
m 2
a

∵直線的斜率為f(m)=-
4a
3m
在m∈(a,+∞)單調(diào)
∴所以集合M中的直線必定相交,
∵直線的橫截距為-
m 2
2a
≠0,縱截距為-
2m
3
≠0
∴任意兩條直線都相交且交點(diǎn)都不在坐標(biāo)軸上.
點(diǎn)評:本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,待定系數(shù)法求曲線方程,直線方程,直線與拋物線的位置關(guān)系,直線相交的意義等知識,屬中檔題
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求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸,頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4;
(2)頂點(diǎn)是雙曲線16x2-9y2=144的中心,準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點(diǎn),且垂直于坐標(biāo)軸.

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