Question

求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4；
（2）頂點(diǎn)是雙曲線16x²-9y²=144的中心，準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點(diǎn)，且垂直于坐標(biāo)軸．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y軸，可設(shè)拋物線方程為：x²=±2py，利用頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，即可求得拋物線方程．
（2）雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定拋物線的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，即可得到結(jié)論．

解答：解　（1）由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的圖形易知：頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

p

2

，
故

p

2

=4，p=8．
因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=±16x或x²=±16y．
（2）雙曲線方程16x²-9y²=144化為標(biāo)準(zhǔn)形式為

x2

9

-

y2

16

=1，
中心為原點(diǎn)，左頂點(diǎn)為（-3，0），
故拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為x=-3．
由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px（p＞0），
可得

p

2

=3，
故p=6．
因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=12x．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力．解題的關(guān)鍵是定型與定量，屬于基礎(chǔ)題．