Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-3n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+3}為等比數(shù)列；    
（Ⅱ）記b_n=

6

n(6×2n-Sn)

，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）易求a₁=3，由S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，兩式相減，可得a_n+1=2a_n+3，進而可化為a_n+1+3=2（a_n+3）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求a_n，分組求和可得S_n，表示出b_n，利用裂項相消法可求得T_n．

解答： 解：（Ⅰ）令n=1，S₁=2a₁-3，∴a₁=3，
由S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
兩式相減，得a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
則a_n+1=2a_n+3，a_n+1+3=2（a_n+3），

an+1+3

an+3

=2，
∴{a_n+3}為公比為2的等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an+3=(a1+3)•2n-1=6•2n-1，
∴an=6•2n-1-3，Sn=

6(1-2n)

1-2

-3n=6•2n-3n-6．
∴bn=

6

n(6×2n-Sn)

=

6

n(3n+6)

=

2

n(n+2)

=

1

n

-

1

n+2

，
∴Tn=(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

3n2+5n

2n2+6n+4

．

點評：本題考查由遞推式求數(shù)列通項、等比數(shù)列的求和公式等知識，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握，弄清裂項規(guī)律是解題關(guān)鍵．