Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx．
（1）若a=1，試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）過坐標(biāo)原點O作曲線y=f（x）的切線，證明：切點的橫坐標(biāo)為1；
（3）令g(x)=

f(x)

ex

，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得曲線的切線斜率，寫出切線方程，即可得證；
（3）由題意得，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
則?x∈（0，1]，g'（x）≤0，即：f'（x）≤f（x），解不等式即可求得a的取值范圍．

解答： 解：（1）a=1時，f（x）=x²+x-lnx（x＞0）-------（1分）∴f′(x)=2x+1-

1

x

=

(2x-1)(x+1)

x

---------（3分）x∈(0，

1

2

)，f′(x)＜0，x∈(

1

2

，+∞)，f′(x)＞0，f（x）的減區(qū)間為(0，

1

2

)，增區(qū)間(

1

2

，+∞)-------（5分）
（2）設(shè)切點為M（t，f（t）），f′(x)=2x+ax-

1

x

切線的斜率k=2t+a-

1

t

，又切線過原點k=

f(t)

t

f(t)

t

=2t+a-

1

t

，即：t2+at-lnt=2t2+at-1∴t2-1+lnt=0-------------（7分）
t=1滿足方程t²-1+lnt=0，由y=1-x²，y=lnx圖象可知x²-1+lnx=0
有唯一解x=1，切點的橫坐標(biāo)為1；-----（8分）
或者設(shè)φ（t）=t²-1+lnt，φ′(t)=2t+

1

t

＞0φ（t）在（0，+∞）遞增，且φ（1）=0，方程t²-1+lnt=0有唯一解--------（9分）
（3）g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
則?x∈（0，1]，g′（x）≤0，即：f′（x）≤f（x），所以x2-2x+

1

x

-lnx+a(x-1)≥0---（*）------------（10分）
設(shè)h(x)=x2-2x+

1

x

-lnx+a(x-1)h′(x)=2x-2-

1

x2

-

1

x

+a=-

(1-x)(2x2+2x+1)

x2

-2+a
若a≤2，則h'（x）≤0，h（x）在（0，1]遞減，h（x）≥h（1）=0
即不等式f'（x）≤f（x），?x∈（0，1]，恒成立----------------------（11分）
若a＞2，∵φ(x)=2x-

1

x2

-

1

x

-2∴φ′(x)=2+

2

x3

+

1

x2

＞0φ（x）在（0，1]上遞增，φ（x）≤φ（1）=-2?x₀∈（0，1），
使得φ（x₀）=-ax∈（x₀，1），φ（x）＞-a，即h'（x）＞0，h（x）在（x₀，1]上遞增，h（x）≤h（1）=0
這與?x∈（0，1]，x2-2x+

1

x

-lnx+a(x-1)≥0矛盾----------------------------（12分）
綜上所述，a≤2-----------------------------------------（13分）
解法二：g′(x)=

f′(x)-f(x)

ex

，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
則?x∈（0，1]，g'（x）≤0，即：f'（x）≤f（x），所以x2-2x+

1

x

-lnx+a(x-1)≥0-----------------（10分）
顯然x=1，不等式成立
當(dāng)x∈（0，1）時，a≤

x2-2x+ 1 x -lnx

1-x

恒成立-------------------------------------（11分）
設(shè)h(x)=

x2-2x+ 1 x -lnx

1-x

，h′(x)=

-x2+2x-1- 1 x2 + 1 x -lnx

(1-x)2

設(shè)φ(x)=-x2+2x-1-

1

x2

+

1

x

-lnx，φ′(x)=2(1-x)+

(1-x)(2+x)

x3

＞0φ（x）在（0，1）上遞增，
φ（x）＜φ（1）=0所以h'（x）＜0-----------------------------（12分）h（x）在（0，1）上遞減，h(x)＞h(1)=

lim

x→1

x2-2x+ 1 x -lnx

1-x

=

lim

x→1

(-2x+2+

1

x

+

1

x2

)=2
所以 a≤2----------------------------------------------------------------（13分）

點評：本題主要考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．
考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化劃歸思想的運用能力，屬難題．