已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為；為橢圓上的四個(gè)點(diǎn)。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若，且，求四邊形的面積的最大值和最小值.

(Ⅰ)  ；(Ⅱ) 2，

解析試題分析：(Ⅰ)依題意可得橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為知，在代入點(diǎn)即可得得到一個(gè)關(guān)于的等式從而可求出的值，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ) 由于，所以直線都過F點(diǎn)，從而又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/d4/8/1zepc4.png" style="vertical-align:middle;" />所以直線與直線相互垂直.所以四邊形的面積為.故關(guān)鍵是求出線段的長(zhǎng)度.首先要分類存在垂直于軸的情況，和不垂直于軸的情況兩種.前者好求.后者通過假設(shè)一條直線聯(lián)立橢圓方程寫出弦長(zhǎng)的式子，類似地寫出另一條所得到的弦長(zhǎng).通過利用基本不等式即可求得面積的范圍.從而再結(jié)合垂直于軸的情況，求出最大值與最小值.
試題解析：（Ⅰ）由題橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為知故可設(shè)橢圓方程為，過焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線方程為，設(shè)此直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)則，又，所以，又，聯(lián)立求得，，故橢圓方程為.
（Ⅱ）由，知，點(diǎn)共線，點(diǎn)共線，
即直線經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)。又知，
（i）當(dāng)斜率為零或不存在時(shí)，
（ii）當(dāng)直線存在且不為零時(shí)，可設(shè)斜率為，則由知，的斜率為
所以：直線方程為：。直線方程為:
將直線方程代入橢圓方程，消去并化簡(jiǎn)整理可得
，
設(shè)坐標(biāo)為，則，…………①
從而，將①代入化簡(jiǎn)得
，
將中換成可得,
所以=.
令，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/45/a/1sn964.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓： 的離心率為 ，點(diǎn) 為其下焦點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過 的直線 ：（其中）與橢圓 相交于兩點(diǎn)，且滿足：.

（1）試用  表示 ；
（2）求  的最大值；
（3）若 ，求  的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為且與雙曲線：有共同焦點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點(diǎn)作的切線，求與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過橢圓上的一點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，，連結(jié)交于點(diǎn)，求證：.

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已知橢圓,橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在橢圓和上, ,求直線的方程.

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給定橢圓，稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是.
（1）若橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)滿足，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長(zhǎng)為，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）已知，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點(diǎn)到過兩點(diǎn)的直線的最短距離.若存在，求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且點(diǎn)在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作方向向量的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求證：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）線段是橢圓過點(diǎn)的弦，且，求內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點(diǎn)C在l上.
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn). 問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）拋物線與橢圓有公共焦點(diǎn)，設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)、在 上（、與不重合），且滿足，求的取值范圍.

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