Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-a．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若h（x）=f（x+1），當a＞0時，若對任意的x≥0，恒有h（x）≥0，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)x∈N，且x＞2，試證明：lnx＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，f′（x）=0，分a≤0，a＞0兩種情況討論，由f′（x）的符號可判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可判斷函數(shù)極值；
（2）對任意的x≥0，恒有h（x）≥0等價于h（x）_min≥0，按0＜a≤1，a＞1兩種情況討論，借助（1）問結(jié)論可求得函數(shù)h（x）的最小值；
（3）由（2）可知，ln（1+x）≥$\frac{x}{x+1}$，則lnx=ln（$\frac{2}{1}$×$\frac{3}{2}$×…×$\frac{x}{x-1}$）=ln2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{x}{x-1}$=ln（1+1）+ln（1+$\frac{1}{2}$）+…+ln（1+$\frac{1}{x-1}$），利用不等式進行放縮，整理可得結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
①當a≤0時，恒有x-a＞0，恒有f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值；
②當a＞0時，由f′（x）=0得x=a，
當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
故當x=a時f（x）取得極小值，無極大值，極小值為f（a）=lna+1-a．
（2）h（x）=f（x+1）=ln（x+1）+$\frac{a}{x+1}$-a，
當0＜a≤1時，y=h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（0）=0，所以滿足題意；
當a＞1時，由（1）可知應(yīng)有h（a-1）=lna+1-a≥0（*）成立，
令g（a）=lna+1-a，則g′（a）=$\frac{1}{a}$-1，g′（a）＜0，g（a）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以g（a）＜0，即h（a-1）=g（a）＜0，與（*）不符，
所以a的取值范圍是0＜a≤1．
（3）由（2）可知，ln（1+x）≥$\frac{x}{x+1}$，
所以lnx=ln（$\frac{2}{1}$×$\frac{3}{2}$×…×$\frac{x}{x-1}$）=ln2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{x}{x-1}$=ln（1+1）+ln（1+$\frac{1}{2}$）+…+ln（1+$\frac{1}{x-1}$）
＞$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$+…+$\frac{\frac{1}{x-1}}{1+\frac{1}{x-1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{x}$．

點評 題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、在閉區(qū)間上的最值，考查不等式的證明，考查分類討論思想，考查解決問題的能力，解決（3）問的關(guān)鍵是借助（2）得到不等式，然后對lnx進行恰當變形．