Question

14．若非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=3|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角余弦值為$-\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 先設(shè)出其夾角，根據(jù)已知條件整理出關(guān)于夾角的等式，解方程即可

解答 解：設(shè)向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為θ；
因為$|{\overrightarrow a}|=3|{\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$，
∴|$\overrightarrow{a}$|²=9|$\overrightarrow$|²=（$\overrightarrow{a}$$+2\overrightarrow$）²=$\overrightarrow{{a}^{2}}$$+4\overrightarrow$²$+4\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$；
即4$\overrightarrow$²$+4×|\overrightarrow{a}|$$•|\overrightarrow|$cosθ=0，
|$\overrightarrow{a}$|=$3\overrightarrow{|b|}$，
∴$\overrightarrow{{a}^{2}}$+|$\overrightarrow{a}$|•$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{a}$|cosθ=0
cosθ=-$\frac{1}{3}$．
故答案為：-$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義以及計算能力，屬于基礎(chǔ)題，考察了基本的數(shù)學(xué)知識的掌握．