Question

9．已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）-x²，f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f′（x）＞1在區(qū)間（1，2）內(nèi)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為[15，+∞）．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)，f′（x）＞1在區(qū)間（1，2）內(nèi)恒成立轉(zhuǎn)化為a＞2x²+3x+1=2（x+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，在區(qū)間（1，2）內(nèi)恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案．

解答 解：∵f（x）=aln（x+1）-x²，
∴f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-2x，
∵f′（x）＞1在區(qū)間（1，2）內(nèi)恒成立，
∴$\frac{a}{x+1}$-2x＞1在區(qū)間（1，2）內(nèi)恒成立，
∴a＞2x²+3x+1=2（x+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，在區(qū)間（1，2）內(nèi)恒成立，
設(shè)g（x）=2x²+3x+1=2（x+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
∴g（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_max=g（2）=2×4+3×2+1=15，
∴a≥15，
故a的取值范圍為[15，+∞），
故答案為：[15，+∞）

點評 本題重點考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，注意分離參數(shù)在求解中的靈活運用，屬于中檔題．