Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}（0≤{a}_{n}＜\frac{1}{2}）}\\{2{a}_{n}+1（{a}_{n}≥\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$若a₁=$\frac{6}{7}$，則a₂₀₁₅的值為-1+$\frac{13}{7}$•2²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 通過題意易知a_n＞$\frac{1}{2}$，從而有a_n+1=2a_n+1，變形可知a_n+1+1=2（a_n+1），進而可知數(shù)列{a_n+1}是以$\frac{13}{7}$為首項、2為公比的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：依題意易知a_n＞$\frac{1}{2}$，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=$\frac{6}{7}$+1=$\frac{13}{7}$，
∴數(shù)列{a_n+1}是以$\frac{13}{7}$為首項、2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=$\frac{13}{7}$•2^n-1，
∴a_n=-1+$\frac{13}{7}$•2^n-1，
∴a₂₀₁₅=-1+$\frac{13}{7}$•2²⁰¹⁴，
故答案為：-1+$\frac{13}{7}$•2²⁰¹⁴．

點評 本題考查數(shù)列的通項，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．