Question

17．七人按下列要求站成一排，分別有多少種不同的站法？
（1）甲、乙兩個(gè)人不相鄰：
（2）甲、乙兩個(gè)人之間恰站兩人：
（3）甲必須在乙的左邊（可以不相鄰）．

Answer 1

分析 （1）由于甲、乙兩人必需不相鄰，先排列其它5個(gè)人，共有A₅⁵種結(jié)果，出現(xiàn)6個(gè)空，從這6個(gè)空中選出2個(gè)空排上甲、乙即可寫出結(jié)果．
（2）先從其余5人選2人站在甲、乙兩個(gè)人之間，再與其余3人全排，可得不同的排法的種數(shù)；
（3）甲同學(xué)必須站在乙同學(xué)的左邊（不一定相鄰），7名同學(xué)站成一排，排法數(shù)為A₇⁷，其中甲同學(xué)站在乙同學(xué)的左邊和乙同學(xué)站在甲同學(xué)的左邊（不一定相鄰）的情況一一對(duì)應(yīng)，各占其半，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵甲、乙兩人必需不相鄰，
∴先排列其它5個(gè)人，共有A₅⁵種結(jié)果，
再在五個(gè)人形成的6個(gè)空中選2個(gè)位置排列，共有A₆²種結(jié)果，
∴不同的排法的種數(shù)是A₅⁵A₆²=3600；
（2）先從其余5人選2人站在甲、乙兩個(gè)人之間，再與其余3人全排，可得不同的排法的種數(shù)是C₅²A₂²A₂²A₄⁴=960；
（3）甲同學(xué)必須站在乙同學(xué)的左邊（不一定相鄰），7名同學(xué)站成一排，排法數(shù)為A₇⁷，其中甲同學(xué)站在乙同學(xué)的左邊和乙同學(xué)站在甲同學(xué)的左邊（不一定相鄰）的情況一一對(duì)應(yīng)，各占其半，故滿足條件的排法總數(shù)為$\frac{1}{2}$A₇⁷=2520種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意特殊問題的處理方法，如相鄰用捆綁法，不能相鄰用插空法，定序法，屬于中檔題．