在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2=16，點P（1，2），M，N為圓O上不同的兩點，且滿足
PM
•
PN
=0．若
PQ
=
PM
+
PN
，則|
PQ
|的最小值為
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：如圖所示，由于
PM
•
PN
=0，可得
PM
⊥
PN
．由于
PQ
=
PM
+
PN
，利用向量的平行四邊形法則和矩形的定義可得|
PQ
|=|
MN
|．當(dāng)四邊形PMQN為正方形且MN⊥OP時，|MN|取得最小值．
解答： 解：如圖所示，∵
PM
•
PN
=0，∴
PM
⊥
PN
．
∵
PQ
=
PM
+
PN
，則|
PQ
|=|
MN
|．
當(dāng)四邊形PMQN為正方形且MN⊥OP時，|MN|取得最小值．
設(shè)kPM=k，∵∠QPM=45°，∴
2-k
1+2k
=1，解得k=
1
3
．
∴直線PM的方程為：y-2=
1
3
(x-1)，
化為x-3y+5=0，
∴
x-3y+5=0
x2+y2=16
，化為10y2-30y+9=0，
解得y=
15+3
15
10
(y=
15-3
15
10
舍去)．
∴x=3y-5=
9
15
-5
10
．
∴M(
9
5
-5
10
，
15+3
15
10
)．
∴|
PQ
|=|
MN
|=
2
|
PM
|=
2
(
9
5
-5
10
-1)2+(
15-3
15
10
-2)2
=
32-6
15
=3
3
-
5
．
故答案為：3
3
-
5
．
點評：本題考查了向量的平行四邊形法則和矩形的定義、滿足一定條件取得最小值的轉(zhuǎn)化問題，考查了計算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)y=f（x）是二次函數(shù)，方程f（x）=0有兩個相等的實根，且f′（x）=2x+2．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求由曲線y=f（x）、直線x=-1、直線x=0以及直線y=0圍成的曲邊梯形面
（Ⅲ）求由曲線段y=f（x）（0≤x≤1）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
4x-4，         x≤1
x2-4x+3， x＞1
，則函數(shù)g(x)=f(x)+
1
2
 的零點個數(shù)為
 
個．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若球O的體積為36πcm3，則它的半徑等于
 
cm．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

二項式（x2-
1
x
+2）5的展開式中x3項的系數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tanα=2，則
sinα-cosα
sina+cosα
的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知復(fù)數(shù)方程
1+i
3i+z
=i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（　�。�
A、2B、4iC、-2D、-4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2是橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點，拋物線y2=4x的焦點為橢圓E的一個焦點，直線y=x+
3
上到焦點F1，F(xiàn)2距離之和最小的點P恰好在橢圓E上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）如圖，過點S（0，-
1
3
）的動直線l交橢圓于A、B兩點，是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過兩點(
2
，1)，(2，
3
3
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點（-1，0）的動直線l與橢圓相交于A、B兩點，在x軸上是否存在點M，使
MA
•
MB
為常數(shù)？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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