Question

【題目】已知函數

（）當時，求的單調區(qū)間和極值.

（）若對于任意，都有成立，求的取值范圍 ；

（）若且證明：

Answer 1

【答案】⑴詳見解析；⑵詳見解析.

【解析】試題分析：（1）求導數分類討論①時,②當時，令解得，當時，當寫出單調區(qū)間及極值．

（2）轉化為對于恒成立．分離參數對于恒成立,利用導數求不等式右邊的最大值即可．

（3）不妨設則,要證只要證即證因為在區(qū)間上單調遞增,所以

又即證構造函數函數在區(qū)間上單調遞增,故而故

所以即所以成立．

試題解析：⑴

①時,因為所以

函數的單調遞增區(qū)間是，無單調遞減區(qū)間,無極值；

②當時，令解得，

當時，當

所以函數的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是，

在區(qū)間上的極小值為無極大值．

⑵ 由題意，

即問題轉化為對于恒成立．

即對于恒成立,

令,則

令,則

所以在區(qū)間上單調遞增,故故

所以在區(qū)間上單調遞增,函數

要使對于恒成立,只要,

所以即實數的取值范圍為．

⑶ 因為由⑴知,函數在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,且

不妨設則,

要證只要證即證

因為在區(qū)間上單調遞增,所以

又即證

構造函數

即

因為,所以即

所以函數在區(qū)間上單調遞增,故

而故

所以即所以成立．