(1)請選擇適當?shù)淖鴺讼?求出拋物線酒杯的方程.
(2)一次,小明在游戲中注意到一個現(xiàn)象,若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,則任何玻璃球都不能觸及酒杯杯底.但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中,則有些小玻璃球能觸及酒杯杯底.小明想用所學數(shù)學知識研究一下,當玻璃球的半徑r為多大值時,玻璃球一定會觸及酒杯杯底.你能幫助小明解決這個問題嗎?
(3)在拋物線酒杯中,放入一根粗細均勻、長度為2 cm的細棒,假設細棒的端點與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計,那么當細棒最后達到平衡狀態(tài)時,細棒在酒杯中位置如何?
解:(1)如圖,以杯底中心為原點建立直角坐標系,設拋物線方程為x2=2px(p>0).
將x=2,y=8代入拋物線方程,得p=,
∴拋物線方程為x2=y.
(2)設圓心在y軸正半軸上,且過原點的圓的方程為x2+(y-r)2=r2,將其代入拋物線方程并消去x,得y2+(-2r)y=0.
∴y1=0,y2=2r-.
若要使玻璃球在杯中能觸及杯底,則要y2=2r-≤0,
即當0<r≤時,玻璃球一定會觸及杯底.
(3)如圖,由于細棒的粗細均勻,所以細棒的平衡狀態(tài)就是細棒的中點M(即細棒的重心)處于最低位置狀態(tài).因此問題就轉化為長度為2 cm的線段AB的兩個端點在拋物線x2=y上移動,當線段AB的中點M到x軸的距離最短時,求點M(x,y)的坐標.
由題意可知焦點F(0,),準線l:y=-,過A、B、M分別作l的垂線,垂足為A′、B′、D,連結AF、BF,由拋物線定義可知|MD|=(|AA′|+|BB′|)=(|AF|+|BF|),
由于|AB|=2大于通徑,因此在△AFB中,|AF|+|BF|≥|AB|,
∴y=|MD|-≥|AB|-=.
當且僅當線段AB過焦點F時,等號成立,
設AB的方程是y=kx+,代入拋物線方程得x2-kx-=0.
由|AB|=2,得k=±.
最后求得M的坐標為(±,).
科目:高中數(shù)學 來源:設計選修數(shù)學-1-1蘇教版 蘇教版 題型:044
小明家中有兩種酒杯,一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形,稱之為直角酒杯(如圖1),另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線,杯口寬4 cm,杯深為8 cm(如圖2),稱之為拋物線酒杯.
(1)請選擇適當?shù)淖鴺讼,求出拋物線酒杯的方程.
(2)一次,小明在游戲中注意到一個現(xiàn)象,若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,則任何玻璃球能觸及酒杯杯底.但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中,則有些小玻璃不能觸及酒杯杯底.小明想用所學過數(shù)學知識研究一下,當玻璃球的半徑r為多大值時,玻璃球一定會觸及酒杯杯底部.你能幫助小明解決這個問題嗎?
(3)在拋物線酒杯中,放入一根粗細均勻,長度為2 cm的細棒,假設細棒的端點與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計,那么當細棒最后達到平衡狀態(tài)時,細棒在酒杯中位置如何?
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科目:高中數(shù)學 來源:選修設計數(shù)學1-1北師大版 北師大版 題型:044
小明家中有兩種酒杯,一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形,稱之為直角酒杯(如圖(1)),另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線,杯口寬4 cm,杯深為8 cm(如圖(2)),稱之為拋物線酒杯.
(1)請選擇適當?shù)淖鴺讼,求出拋物線酒杯的方程.
(2)一次,小明在游戲中注意到一個現(xiàn)象,若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,則任何玻璃球能觸及酒杯杯底.但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中,則有些小玻璃球能觸及酒杯杯底.小明想用所學過的數(shù)學知識研究一下,當玻璃球的半徑r為多大值時,玻璃球一定會觸及酒杯杯底部.你能幫助小明解決這個問題嗎?
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