小明家中有兩種酒杯,一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形,稱(chēng)之為直角酒杯(如圖1),另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線,杯口寬4 cm,杯深為8 cm(如圖2),稱(chēng)之為拋物線酒杯.
(1)請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出拋物線酒杯的方程.
(2)一次,小明在游戲中注意到一個(gè)現(xiàn)象,若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,則任何玻璃球能觸及酒杯杯底.但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中,則有些小玻璃不能觸及酒杯杯底.小明想用所學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)研究一下,當(dāng)玻璃球的半徑r為多大值時(shí),玻璃球一定會(huì)觸及酒杯杯底部.你能幫助小明解決這個(gè)問(wèn)題嗎?
(3)在拋物線酒杯中,放入一根粗細(xì)均勻,長(zhǎng)度為2 cm的細(xì)棒,假設(shè)細(xì)棒的端點(diǎn)與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計(jì),那么當(dāng)細(xì)棒最后達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí),細(xì)棒在酒杯中位置如何?
解:
(1)如圖所示,以杯底中心為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0).將x=2,y=8代入拋物線方程,得p=,
∴拋物線方程為x2=y.
(2)設(shè)圓心在y軸正半軸上,且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程為x2+(y-r)2=r2,將之代入拋物線方程,消去x,得y2+(2-2r)y=0,∴y1=0,y2=2r-.
若要使玻璃球在杯中能觸及杯底,則要y2=2r-≤0,即當(dāng)0<x≤時(shí),玻璃球一定會(huì)觸及杯底.
(3)如上圖,由于細(xì)棒的粗細(xì)均勻,所以細(xì)棒的平衡狀態(tài)就是細(xì)棒的中點(diǎn)M(即細(xì)棒的重心)處于最低位置狀態(tài).因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度為2 cm的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線x2=y上移動(dòng),當(dāng)線段AB的中點(diǎn)M到x軸的距離最短時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).最后求得M的坐標(biāo)為(±).
思路解析:本題是有關(guān)拋物線在實(shí)際生活中的應(yīng)用問(wèn)題,在解決過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注意建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系以及注意如何恰當(dāng)?shù)馗鶕?jù)題意將生活語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,從而將問(wèn)題解決.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:選修設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)1-1北師大版 北師大版 題型:044
小明家中有兩種酒杯,一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形,稱(chēng)之為直角酒杯(如圖(1)),另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線,杯口寬4 cm,杯深為8 cm(如圖(2)),稱(chēng)之為拋物線酒杯.
(1)請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出拋物線酒杯的方程.
(2)一次,小明在游戲中注意到一個(gè)現(xiàn)象,若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,則任何玻璃球能觸及酒杯杯底.但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中,則有些小玻璃球能觸及酒杯杯底.小明想用所學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)研究一下,當(dāng)玻璃球的半徑r為多大值時(shí),玻璃球一定會(huì)觸及酒杯杯底部.你能幫助小明解決這個(gè)問(wèn)題嗎?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(1)請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出拋物線酒杯的方程.
(2)一次,小明在游戲中注意到一個(gè)現(xiàn)象,若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中,則任何玻璃球都不能觸及酒杯杯底.但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中,則有些小玻璃球能觸及酒杯杯底.小明想用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)研究一下,當(dāng)玻璃球的半徑r為多大值時(shí),玻璃球一定會(huì)觸及酒杯杯底.你能幫助小明解決這個(gè)問(wèn)題嗎?
(3)在拋物線酒杯中,放入一根粗細(xì)均勻、長(zhǎng)度為2 cm的細(xì)棒,假設(shè)細(xì)棒的端點(diǎn)與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計(jì),那么當(dāng)細(xì)棒最后達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí),細(xì)棒在酒杯中位置如何?
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