Question

（2011•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=(ax2-x)lnx-

1

2

ax2+x．（a∈R）．
（I）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程（e=2.718…）；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）將a=0代入，對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到切線的斜率k=f′（e），切點(diǎn)為（e，f（e）），根據(jù)點(diǎn)斜式即可寫(xiě)出切線方程；
（II）由題意知先求導(dǎo)數(shù)，f（x）在（1，e]內(nèi)單調(diào)性．下面對(duì)a進(jìn)行分類討論：①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，③當(dāng)a=

1

2

時(shí)，④當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，由此可知f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；

解答：解：（ I）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x-xlnx，f'（x）=-lnx，…（2分）
所以f（e）=0，f'（e）=-1，…（4分）
所以曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程為y=-x+e．…（5分）
（ II）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）f′(x)=(ax2-x)

1

x

+(2ax-1)lnx-ax+1=(2ax-1)lnx，…（6分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，2ax-1＜0，在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，+∞）上f'（x）＜0
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上遞減； …（8分）
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，在（0，1）和(

1

2a

，+∞)上f'（x）＞0，在(1，

1

2a

)上f'（x）＜0
所以f（x）在（0，1）和(

1

2a

，+∞)上單調(diào)遞增，在(1，

1

2a

)上遞減；…（10分）
③當(dāng)a=

1

2

時(shí)，在（0，+∞）上f'（x）≥0且僅有f'（1）=0，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；                …（12分）
④當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，在(0，

1

2a

)和（1，+∞）上f'（x）＞0，在(

1

2a

，1)上f'（x）＜0
所以f（x）在(0，

1

2a

)和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在(

1

2a

，1)上遞減…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系．當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．