【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時，證明：.

【答案】（Ⅰ）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 （Ⅱ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)得到，設(shè)，根據(jù)其單調(diào)性得到的單調(diào)性.

（Ⅱ）先證明當(dāng)時，（）恒成立，計算得到在及處均取極小值，且，即，得到，得到證明.

（Ⅰ），（）.

設(shè)（），則，易知在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，則當(dāng)時，成立，

易知在區(qū)間上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，（）.

令（），

下面考察當(dāng)時，的根的情況，從而討論的正負情況.

先證明當(dāng)時，（）恒成立，

設(shè)，則，，

設(shè)，則在時恒成立，

故在時單調(diào)遞增，故，

故在時單調(diào)遞增，故.

則，（），

所以有，，而，

必存在，，使得，所以此時在區(qū)間，上，

單調(diào)遞增，在，上，單調(diào)遞減；

所以在及處均取極小值，且，即，

又，因為，所以有，即，同理有.

即，所以當(dāng)時，成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為菱形，，，點為的中點.

（1）證明：；

（2）若點為線段的中點，平面平面，求二面角的余弦值.

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【題目】如圖，是拋物線的焦點，過點且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交拋物線于、兩點，交拋物線的準(zhǔn)線于點，其中，．過點作軸的垂線交拋物線于點，直線交拋物線于點.

（1）求的值；

（2）求四邊形的面積的最小值．

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，為上異于的點.

（1）求證：平面平面；

（2）當(dāng)與平面所成角為時，求的長；

（3）當(dāng)時，求二面角的余弦值.

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【題目】如圖，幾何體中，，均為邊長為2的正三角形，且平面平面，四邊形為正方形.

（1）若平面平面，求證:平面平面；

（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知橢圓：的離心率，且圓過橢圓的上，下頂點.

（1）求橢圓的方程.

（2）若直線的斜率為，且直線交橢圓于、兩點，點關(guān)于點的對稱點為，點是橢圓上一點，判斷直線與的斜率之和是否為定值，如果是，請求出此定值：如果不是，請說明理.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱柱中，底面，，，，.，分別為棱，的中點.

（1）求異面直線與所成角的大小；

（2）若為線段的中點，試在圖中作出過、、三點的平面截該棱柱所得的多邊形，并求出以該多邊形為底，為頂點的棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，判斷在定義域上的單調(diào)性；

（2）若對定義域上的任意的，有恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）證明：，.

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【題目】定義：若無窮數(shù)列滿足是公比為的等比數(shù)列，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.設(shè)數(shù)列中

（1）若，且數(shù)列是“數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，且，請判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；

（3）若數(shù)列是“數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，請求出所有滿足條件的正整數(shù)；若不存在，請說明理由.

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