【題目】如圖,幾何體中,,均為邊長為2的正三角形,且平面平面,四邊形為正方形.

1)若平面平面,求證:平面平面;

2)若二面角,求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】1)見解析(2

【解析】

1)取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接.可證明,結(jié)合,可知四邊形為平行四邊形.進(jìn)而由及平面與平面平行的判定定理證明平面平面;

2)連結(jié),可知即為二面角的平面角.為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.由線段關(guān)系寫出各個點(diǎn)的坐標(biāo),求得平面的法向量,即可根據(jù)直線與平面夾角的向量關(guān)系求得直線與平面所成角的正弦值.

1)證明:取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接.如下圖所示:

因?yàn)?/span>,且平面平面,

所以平面,

同理平面,

所以,

又因?yàn)?/span>,

所以四邊形為平行四邊形,

所以,平面,

, 平面,

又因?yàn)?/span>交于點(diǎn)

所以平面平面.

2)連結(jié),,

所以為二面角的平面角,

所以

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

所以

設(shè)平面的一個法向量是,

,,

,,

又因?yàn)?/span>,

所以,

即所求的角的正弦值為.

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)求使得等式Fx=x22ax+4a2成立的x的取值范圍;

)()求Fx)的最小值ma);

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)求成績在的頻率,補(bǔ)全這個頻率分布直方圖,并估計(jì)這次考試的眾數(shù)和中位數(shù);

)從成績在的學(xué)生中選兩人,求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率;

)我們規(guī)定學(xué)生成績大于等于80分時為優(yōu)秀,經(jīng)統(tǒng)計(jì)男生優(yōu)秀人數(shù)為4人,補(bǔ)全下面表格,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)?

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計(jì)

4

30

30

合計(jì)

60

0.025

0.010

0.005

0.001

5.024

6.635

7.879

10.828

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