Question

比較2ⁿ•n!與（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大小關系，并給出證明．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,二項式定理的應用

專題：推理和證明,二項式定理

分析：檢驗可得2ⁿ•n!≤（n+1）ⁿ，再利用數(shù)學歸納法、二項展開式的通項公式進行證明．

解答： 解：當n=1時，2ⁿ•n!=2，（n+1）ⁿ =2，2ⁿ•n!=（n+1）ⁿ．
當n=2時，2ⁿ•n!=8，（n+1）ⁿ =9，2ⁿ•n!＜（n+1）ⁿ．
當n=3時，2ⁿ•n!=48，（n+1）ⁿ =64，2ⁿ•n!＜（n+1）ⁿ．
當n=4時，2ⁿ•n!=384，（n+1）ⁿ =625，2ⁿ•n!=（n+1）ⁿ．
…
猜2ⁿ•n!≤（n+1）ⁿ．
證明：當n=1時，結(jié)論顯然成立．
設當n=k時，k∈N，結(jié)論成立，即 2^k•k!≤（k+1）^k．
則當n=k+1時，左邊=2^k+1•（k+1）!=2（k+1）•2^k•k!≤（2k+2）•（k+1）^k =2•（k+1）^k+1 ，
右邊=（k+1+1）^k+1 =

C

0 k+1

•（k+1）^k+1 +

C

1 k+1

•（k+1）^k +

C

2 k+1

•（k+1）^k-1+…+1=2•（k+1）^k+1 +

C

2 k+1

•（k+1）^k-1+…+1，
故當n=k+1時，左邊小于右邊，故所猜的結(jié)論正確．
綜上可得，2ⁿ•n!≤（n+1）ⁿ 成立．

點評：本題主要考查用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題，二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，屬于中檔題．