Question

設a，b分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量ξ表示方程x²+2ax+b=0的實根的個數(shù)（方程有等根時按一個計數(shù)）．
（1）求方程x²+2ax+b=0有實根的概率；
（2）求ξ的概率分布表及數(shù)學期望；
（3）求在拋擲過程中，至少出現(xiàn)一次點數(shù)為6的條件下，方程x²+2ax+b=0有實根的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,離散型隨機變量及其分布列

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的所有事件根據(jù)分步計數(shù)原理知是36，滿足條件的事件：方程無實根，則4a²-4b≥0，a²≥b，通過列舉法得到所包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率公式求出值．
（2）由題意知實根的個數(shù)只有三種結果，0、1、2，根據(jù)上一問的計算可以寫出當變量取值時對應的概率，寫出分布列及數(shù)學期望；
（3）利用古典概型的概率公式求出事件“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有6”的概率，利用條件概率的概率公式求出方程x²+2ax+b=0有實根的概率．

解答： 解：（1）基本事件總數(shù)：6×6=36
①△＞0，即4a²-4b＞0，a²＞b，共有5+5+5+4+4+4=27
②△=0，a²=b，共有1+1=2個
故方程有實根概率P=

27+2

36

=

29

36

（2）P（ξ=0）=

7

36

，P（ξ=1）=

2

36

=

1

18

，P（ξ=2）=

27

36

=

3

4

ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	7 36	1 18	3 4

數(shù)學期望：Eξ=0×

7

36

+1×

1

18

+2×

3

4

=

28

18

=

14

9

（3）“有6”為事件A，則P（A）=1-

25

36

=

11

36

，P（AB）=

9

36

∴P（B|A）=

9

11

．

點評：本題主要考查離散型隨機變量的分布列和古典概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，比較基礎．