Question

設(shè)f（x）=|x-3|+|x-4|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[5，9]，f（x）≤ax-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過(guò)對(duì)x取值的分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可求得不等式f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，可得f（x）≤ax-1恒成立?2x-7≤ax-1（5≤x≤9）恒成立?a≥

2x-6

x

=2-

6

x

（5≤x≤9）恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2-

6

x

，利用其單調(diào)性可求得它的最大值，從而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-3|+|x-4|≤2，
∴當(dāng)x＜3時(shí)，3-x+4-x≤2，
解得：x≥

5

2

，又x＜3，∴

5

2

≤x＜3；
當(dāng)3≤x≤4時(shí)，x-3+4-x≤2，即1≤2恒成立，∴3≤x≤4；
當(dāng)x＞4時(shí)，x-3+x-4≤2，解得：x≤

9

2

，又x＞4，∴4＜x≤

9

2

；
綜上所述，

5

2

≤x≤

9

2

，即原不等式的解集為{x|

5

2

≤x≤

9

2

}．
（Ⅱ）∵x∈[5，9]，∴f（x）≤ax-1恒成立?2x-7≤ax-1（5≤x≤9）恒成立?a≥

2x-6

x

=2-

6

x

（5≤x≤9）恒成立，
∴a≥(2-

6

x

)max．
∵g（x）=2-

6

x

在區(qū)間[5，9]上單調(diào)遞增，
∴g（x）_max=g（9）=2-

2

3

=

4

3

．
∴a≥

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想與綜合運(yùn)算能力，屬于中檔題．