Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²+m，其中m∈R．定義數(shù)列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使a₂，a₃，a₄構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）求證：當(dāng)$m＞\frac{1}{4}$時(shí)，總能找到k∈N^*，使得a_k＞2015．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的解析式，通過n=2，3，4，求出結(jié)果．
（2）解法一：假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得a₂，a₃，a₄構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列．求出a₂，a₃，a₄，利用a₂，a₃，a₄成等差數(shù)列，求出$m=1±\sqrt{2}$即可．
方法二：通過a₃-a₂=a₄-a₃，求出$m=-1±\sqrt{2}$，使得a₂，a₃，a₄構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列．
（3）通過a_n+1-a_n$≥m-\frac{1}{4}$，利用a_n-a_n-1≥t，a_n-1-a_n-2≥t，…，a₂-a₁≥t，累加推出a_n≥（n-1）t，通過a_k＞2015成立，轉(zhuǎn)化（k-1）t＞2015，得到結(jié)論，總能找到k∈N^*，使得a_k＞2015．

解答 （本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分（4分），第2小題滿分（6分），第3小題滿分（8分）．
解：（1）因?yàn)閙=1，故f（x）=x²+1，…（1分）
因?yàn)閍₁=0，所以a₂=f（a₁）=f（0）=1，…（2分）
a₃=f（a₂）=f（1）=2，…（3分）
a₄=f（a₃）=f（2）=5．…（4分）
（2）解法一：假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得a₂，a₃，a₄構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列．
則得到a₂=f（0）=m，a₃=f（m）=m²+m，a₄=f（a₃）=（m²+m）²+m．…（2分）
因?yàn)閍₂，a₃，a₄成等差數(shù)列，所以2a₃=a₂+a₄，…（3分）
所以，2（m²+m）=（m²+m）²+m+m，化簡(jiǎn)得（m²+2m-1）m²=0，
解得m=0（舍），m=-1$±\sqrt{2}$．…（5分）
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)a₂，a₃，a₄的公差不為0，
所以存在$m=1±\sqrt{2}$，使得a₂，a₃，a₄構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列．  …（6分）
方法二：因?yàn)閍₂，a₃，a₄成等差數(shù)列，所以a₃-a₂=a₄-a₃，
即a₂²+m-a₂=a₃²+m-a₃，…（2分）
所以（a₃²-a₂²）-（a₃-a₂）=0，即（a₃-a₂）（a₃+a₂-1）=0．
因?yàn)楣�差d≠0，故a₃-a₂≠0，所以a₃+a₂-1=0，解得m=-1$±\sqrt{2}$． …（5分）
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)a₂，a₃，a₄的公差不為0．
所以存在$m=-1±\sqrt{2}$，使得a₂，a₃，a₄構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列．  …（6分）
（3）因?yàn)閍_n+1-a_n=a_n²+m-a_n=（a_n-$\frac{1}{2}$）²+（$m-\frac{1}{4}$）$≥m-\frac{1}{4}$，…（2分）
又 m$＞\frac{1}{4}$，所以令$t=m-\frac{1}{4}≥0$…（3分）
由a_n-a_n-1≥t，a_n-1-a_n-2≥t，…，a₂-a₁≥t，
將上述不等式全部相加得a_n-a₁≥（n-1）t，即a_n≥（n-1）t，…（5分）
因此要使a_k＞2015成立，只需（k-1）t＞2015，
所以，只要取正整數(shù)$k＞\frac{2015}{t}+1$，就有${a_k}≥（k-1）t＞\frac{2015}{t}•t=2015$．
綜上，當(dāng)$m＞\frac{1}{4}$時(shí)，總能找到k∈N^*，使得a_k＞2015．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和，數(shù)列與不等式相結(jié)合，考查分析問題解決問題的能力．