【題目】已知定義在上的函數(shù)滿足:
①對(duì)于任意的,都有;
②當(dāng)時(shí),,且.
(1)求,的值,并判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性;
(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
【答案】(1)為偶函數(shù);(2)在上是增函數(shù);(3)2.
【解析】
(1)先求f(﹣1)的值,令y=﹣1,推出f(﹣x)=f(x)+f(﹣1),f(﹣x)=f(x).結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義,判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,直接判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性;
(3)通過(guò)(1),(2)奇偶性,單調(diào)性,直接求函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣4,0)∪(0,4]上的最大值;
(1)令x=y=1,則f(1×1)=f(1)+f(1),得f(1)=0;
再令x=y=﹣1,則f[(﹣1)×(﹣1)]=f(﹣1)+f(﹣1),得f(﹣1)=0.
對(duì)于條件f(xy)=f(x)+f(y),令y=﹣1,
則f(﹣x)=f(x)+f(﹣1),所以f(﹣x)=f(x).
又函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則有.
又∵當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0,
∴f()>0
而>f(x1),
所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
(3)∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),又f(2)=1,
∴f(4)=2.
又由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣4,0)∪(0,4]上是偶函數(shù)且在(0,4]上是增函數(shù),
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣4,0)∪(0,4]上的最大值為f(4)=f(﹣4)=2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市為了創(chuàng)建全國(guó)文明城市,面向社會(huì)招募志愿者,現(xiàn)從20歲至50歲的志愿者中按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示,若用分層抽樣的方法從這些志愿者中抽取20人參加“創(chuàng)建全國(guó)文明城市驗(yàn)收日”的活動(dòng)。
(1)求從第2組和第3組中抽取的人數(shù)分別是多少;
(2)若小李和小王都是32歲,同時(shí)參加了“創(chuàng)建全國(guó)文明城市驗(yàn)收日”的活動(dòng),現(xiàn)要從第3組抽取的人中臨時(shí)抽調(diào)兩人去執(zhí)行另一任務(wù),求小李和小王至少有一人被抽調(diào)的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出函數(shù)如下表,則f〔g(x)〕的值域?yàn)椋?)
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
g(x) | 1 | 1 | 3 | 3 |
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 4 | 3 | 2 | 1 |
A. {4,2} B. {1,3} C. {1,2,3,4} D. 以上情況都有可能
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,( a﹣sinC)cosB=sinBcosC,b=4 .
(1)求角B的大;
(2)D為BC邊上一點(diǎn),若AD=2,S△DAC=2 ,求DC的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+n﹣1
(1)求證:數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)當(dāng) 且 時(shí),求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),直線,設(shè)圓的半徑為,且圓心在直線上.
()若圓心的坐標(biāo)為,過(guò)點(diǎn)作圓的切線,求切線的方程.
()若圓上存在點(diǎn),使,求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4﹣5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|.
(1)證明:﹣3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2﹣8x+15的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(Rt△FHE,H是直角頂點(diǎn))來(lái)處理污水,管道越長(zhǎng),污水凈化效果越好.設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn),E,F(xiàn)分別落在線段BC,AD上.已知AB=20米,AD=10 米,記∠BHE=θ.
(1)試將污水凈化管道的長(zhǎng)度L表示為θ的函數(shù),并寫出定義域;
(2)問(wèn):當(dāng)θ取何值時(shí),污水凈化效果最好?并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度.
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