Question

2．設(shè)a，b，c，d∈R⁺，且a+b+c＞d，求證：$\frac{a}{1+a}$+$\frac{1+b}$+$\frac{c}{1+c}$＞$\fracemrlmlp{1+d}$．

Answer 1

分析 由放縮法可得$\frac{a}{1+a}$＞$\frac{a}{1+a+b+c}$，$\frac{1+b}$＞$\frac{1+a+b+c}$，$\frac{c}{1+c}$＞$\frac{c}{1+a+b+c}$，相加，再由條件a+b+c＞d，取倒數(shù)，由不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：a，b，c，d∈R⁺，
由$\frac{a}{1+a}$＞$\frac{a}{1+a+b+c}$，
$\frac{1+b}$＞$\frac{1+a+b+c}$，
$\frac{c}{1+c}$＞$\frac{c}{1+a+b+c}$，
相加可得，
$\frac{a}{1+a}$+$\frac{1+b}$+$\frac{c}{1+c}$＞$\frac{a+b+c}{1+a+b+c}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{a+b+c}}$，
由a+b+c＞d，可得$\frac{1}{a+b+c}$＜$\frac{1}4mcyaak$，
即有$\frac{1}{1+\frac{1}{a+b+c}}$＞$\frac{1}{1+\frac{1}o64ufuw}$=$\fracl4x4ek6{1+d}$，
則有$\frac{a}{1+a}$+$\frac{1+b}$+$\frac{c}{1+c}$＞$\fracvw4b9j9{1+d}$．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，考查放縮法證明不等式的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中檔題．