如圖，三角形ABC中AB=3，AC=6，∠BAC=60°，D為BC中點(diǎn)，E為中線AD的中點(diǎn)．
（1）試用向量
AB
和
AC
表示
AD
；
（2）求中線AD的長；
（3）求
BE
與
AD
所成角θ的余弦值．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用
分析：（1）根據(jù)題意，利用向量的加法法則，得出
AD
；
（2）求出|
AD
|2的值，即得|
AD
|的長；
（3）由
BE
、
AD
，利用平面向量的數(shù)量積求出夾角θ的余弦值．
解答： 解：（1）根據(jù)題意，得
AD
=
1
2
（
AB
+
AC
）；…（2分）
（2）∵|
AD
|2=
AD
2=
1
4
(
AB
+
AC
)2
=
1
4
（
AB
2+2
AB
•
AC
+
AC
2）…（4分）
=
1
4
（32+2×3×6×cos60°+62）
=
63
4
，…（5分）
∴|
AD
|=
3
7
2
；…（6分）
（3）∵
BE
=
BA
+
AE
=-
AB
+
1
2
AD

=-
AB
+
1
4
AB
+
1
4
AC

=-
3
4
AB
+
1
4
AC
，…（7分）
∴|
BE
|2=(-
3
4
AB
+
1
4
AC
)2
=
9
16
AB
2-2×
3
4
×
1
4
AB
•
AC
+
1
16
AC
2
=
81
16
-
3
8
×3×6×
1
2
+
36
16

=
81-54+36
16
=
63
16
，…（8分）
∴|
BE
|=
3
7
4
；…（9分）
∴cosθ=
BE
•
AD
|
BE
|×|
AD
|

=
(-
3
4
AB
+
1
4
AC
)•
1
2
(
AB
+
AC
)
3
4
7
×
3
2
7

=
1
2
(-
3
4
×9+
1
4
×36-
1
2
×3×6×
1
2
)
9×7
8

=
1
2
×
-27+36-18
4
9×7
8

=
-9
9×7
=-
1
7
．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形，利用平面向量的線性運(yùn)算法則和平面向量的數(shù)量積，求模長與夾角，是計(jì)算題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在等腰三角形ABC中，底邊BC=2，
AD
=
DC
，2
AE
=3
EB
，若
BD
•
AC
=-
1
2
，則
CE
•
AB
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=
x
lgx
，則下列大小關(guān)系正確的是（　　）
A、f2（x）＜f（x2）＜f（x）
B、f（x2）＜f2（x）＜f（x）
C、f（x）＜f（x2）＜f2（x）
D、f（x2）＜f（x）＜f2（x）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中，我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算a?b，運(yùn)算原理如圖所示，則函數(shù)f（x）=（tan
5π
4
?x）•x-（lg100?x）（x∈[-2，2]）的最大值等于（“•”和“-”仍為通常的乘法和減法）（　�。�
A、-1B、1C、6D、12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)，E是線段AB上的點(diǎn)．
（1）當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：AF∥平面PCE
（2）無論E點(diǎn)在線段AB上哪個(gè)位置，棱錐C-PDE的體積是否是一個(gè)定值？如果是，請求出棱錐C-PDE的體積；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么
（1）s是q的什么條件？
（2）r是q的什么條件？
（3）p是q的什么條件？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2，前n項(xiàng)和Sn滿足an+1=Sn+2（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
（2）若bn=2log2an，對一切n∈N*，
1
b1b2
+
1
b2b3
+
1
b3b4
+…+
1
bnbn+1
＜t恒成立，求實(shí)數(shù)t的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，江邊有一座高為30m的瞭望塔AB，江中有兩條船C、D，由塔頂A測得兩船C、D的俯角分別為45°和30°，而且兩條船C、D與塔底部B連線所成的∠CBD大小為30°，求兩條船C、D間的距離為多少米？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中點(diǎn)，△A1MC1是等腰三角形，D為CC1的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)．
（1）若DE∥平面A1MC1，求
CE
EB
；
（2）平面A1MC1將三棱柱ABC-A1B1C1分成兩個(gè)部分，求較小部分與較大部分的體積之比．

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同步練習(xí)冊答案