【題目】如圖(1),在正方形SG1G2G3中,E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn),現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體如圖(2),使G1、G2、G3三點(diǎn)重合于點(diǎn)G.證明:
(1)G在平面SEF上的射影為△SEF的垂心;
(2)求二面角G﹣SE﹣F的正弦值.
【答案】
(1)證明:設(shè)G在平面SEF上的射影為點(diǎn)H,則GH⊥平面SEF.
∵折前SG1⊥G1E、SG3⊥G3F,
∴折后SG⊥GE、SG⊥GF,
∵GE∩GF=G,∴SG⊥平面GEF
∵ , ,SG∩GH=G,
∴EF⊥平面SGH
∵SH平面SGH,∴EF⊥SH,同理,EH⊥SF,∴H為△SEF的垂心.
(2)解:過(guò)G作GO⊥SE交SE于點(diǎn)O,連OH,
則∠GOH即為所求二面角G﹣SE﹣F的平面角.
∵ ,
又∵GO⊥SE,GH∩GO=G,
∴SE⊥平面GHO∵OH平面GHO,
∴SE⊥OH,∴∠GOH為所求二面角G﹣SE﹣F的平面角.
設(shè)正方形SG1G2G3的邊長(zhǎng)為1,
則在Rt△SEG中, ∴
又 ,
∴sin∠GOH= = ,∴二面角G﹣SE﹣F的正弦值為 .
【解析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明G在平面SEF上的射影為△SEF的垂心;(2)根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角,結(jié)合三角形的邊角關(guān)系即可求二面角G﹣SE﹣F的正弦值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知過(guò)定點(diǎn)P(2,0)的直線l與曲線y= 相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△AOB的面積取最大時(shí),直線的傾斜角可以是:①30°;②45°;③60°;④120°⑤150°.其中正確答案的序號(hào)是 . (寫(xiě)出所有正確答案的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),曲線x2+y2+2x﹣6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q,滿足關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱,又滿足 =0.
(1)求m的值;
(2)求直線PQ的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若兩條異面直線所成的角為90°,則稱這對(duì)異面直線為“理想異面直線對(duì)”,在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中,“理想異面直線對(duì)”的對(duì)數(shù)為( )
A.24
B.48
C.72
D.78
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(0,﹣2),橢圓E: =1(a>b>0)的離心率為 ,F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn),直線AF的斜率為 ,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一艘船在航行過(guò)程中發(fā)現(xiàn)前方的河道上有一座圓拱橋.在正常水位時(shí),拱橋最高點(diǎn)距水面8m,拱橋內(nèi)水面寬32m,船只在水面以上部分高6.5m,船頂部寬8m,故通行無(wú)阻,如圖所示.
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求正常水位時(shí)圓弧所在的圓的方程;
(2)近日水位暴漲了2m,船已經(jīng)不能通過(guò)橋洞了.船員必須加重船載,降低船身在水面以上的高度,試問(wèn):船身至少降低多少米才能通過(guò)橋洞?(精確到0.1m, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知線段AB長(zhǎng)度為a(a為定值),在其上任意選取一點(diǎn)M,在AB的同一側(cè)分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF,⊙P和⊙Q是這兩個(gè)正方形的外接圓,它們交于點(diǎn)M、N.試以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.
(1)證明:不論點(diǎn)M如何選取,直線MN都通過(guò)一定點(diǎn)S;
(2)當(dāng) 時(shí),過(guò)A作⊙Q的割線,交⊙Q于G、H兩點(diǎn),在線段GH上取一點(diǎn)K,使 = 求點(diǎn)K的軌跡.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知各項(xiàng)均大于1的數(shù)列{an}滿足:a1= ,an+1= (an+ ),(n∈N*),bn=log5 .
(1)證明{bn}為等比數(shù)列,并求{bn}通項(xiàng)公式;
(2)若cn= ,Tn為{cn}的前n項(xiàng)和,求證:Tn<6.
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【題目】設(shè)向量 =( sinx,sinx), =(cosx,sinx),x∈[0, ]
(1)若| |=| |,求x的值;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)= ,求f(x)的值域.
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