Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，?n∈N⁺，a_n＞0，且（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0，求通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過對(duì)等式（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0因式分解可知（a_n+a_n+1）[（n+1）a_n-na_n+1]=0，進(jìn)而（n+1）a_n-na_n+1=0，變形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，利用累乘法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵（n+1）a_n²+a_na_n+1-na_n+1²=0，
∴（a_n+a_n+1）[（n+1）a_n-na_n+1]=0，
又∵a_n＞0，即a_n+a_n+1＞0，
∴（n+1）a_n-na_n+1=0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=n，
∴a_n=n•a₁=2n，
∵當(dāng)n=1時(shí)滿足上式，
∴通項(xiàng)公式a_n=2n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，利用因式分解、累乘法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．