Question

4．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2014，2016]上的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明f（2+x）=-f（x），即可求函數(shù)f（x）的周期；
（Ⅱ）根據(jù)f（2-x）=f（x），可以推出x在[1，2]上f（x）=2-x，再分段，即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2014，2016]上的解析式．

解答 解：（Ⅰ）∵f（2-x）=f（x），
∴f（2+x）=f（-x），
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（2+x）=-f（x），
∴f（4+x）=-f（2+x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）的周期是4；
（Ⅱ）設x∈[1，2]，則2-x∈[0，1]時，f（2-x）=2-x
∵f（2-x）=f（x），∴f（x）=2-x
設x∈[2014，2015]，則x-2014∈[0，1]，f（x-2014）=x-2014，
∵函數(shù)f（x）的周期是4，
∴f（x）=f（x-2014）=x-2014，
設x∈[2015，2016]，則x-2014∈[1，2]，f（x-2014）=2-x+2014=2016-x，
∵函數(shù)f（x）的周期是4，
∴f（x）=f（x-2014）=2016-x
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[2014，2016]上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2014，x∈[2014，2015]}\\{2016-x，x∈[2015，2016]}\end{array}\right.$．

點評 本題考查函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的解析式，考查學生分析解決問題的能力，正確運用函數(shù)的周期性是關鍵．