Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，a1=1，an=an+12+2an+1（Ⅰ）求證：數(shù)列{log2（an+1）}為等比數(shù)列：
（Ⅱ）設(shè)bn=n1og2（an+1），數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn ， 求證：1≤Sn＜4．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an=an+12+2an+1 ， ∴an+1=（an+1+1）2 ，
∵an＞0，
∴2log2（an+1+1）=log2（an+1），
即log2（an+1+1）= log2（an+1），
即數(shù)列{log2（an+1）}是1為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列：
（Ⅱ）∵數(shù)列{log2（an+1）}是1為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列：
∴l(xiāng)og2（an+1）= ，
設(shè)bn=n1og2（an+1）=n ，
則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn=1+ ，
Sn= ．
兩式相減得 Sn=1+ =2[1﹣（ ）n]﹣ ，
∴Sn=4﹣ ．
∵bn=n ＞0，
∴Sn≥S1=1，
∴1≤Sn＜4
【解析】（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{log2（an+1）}為等比數(shù)列：（Ⅱ）求出bn=n1og2（an+1）的表達(dá)式，利用錯位相減法即可求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．