【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的定義域;

(2)判斷的奇偶性;

(3)方程是否有實根?如果有實根,請求出一個長度為的區(qū)間使;如果沒有,請說明理由(注:區(qū)間的長度

【答案】(1)定義域為(-1,1);(2)見解析;(3) .

【解析】【試題分析】(1)根據(jù)對數(shù)真數(shù)為正數(shù),求得函數(shù)的定義域為.(2)利用奇偶性的定義判斷出,故函數(shù)為奇函數(shù).(3)將原方程等價變形為,構造函數(shù),利用二分法可判斷出函數(shù)的根在區(qū)間.

【試題解析】

(1)∵

∴-1<x<1,故函數(shù)的定義域為(-1,1).

f(-x)=log2(1+x)-log2(1-x)=-f(x),且f(x)的定義域關于原點對稱

f(x)為奇函數(shù).

(3)由題意知方程f(x)=x+1等價于log2(1-x)-log2(1+x)=x+1,可化為(x+1)2x+1x-1=0.

g(x)=(x+1)2x+1x-1,x∈(-1,1),

g×2-1=<0,

g(0)=2-1=1>0,

gg(0)<0,故方程在上必有實根.

又∵g×2-1=

>0,

gg<0,

故方在上必有實根.

又∵區(qū)間長度-,

∴滿足題意的一個區(qū)間為.

練習冊系列答案
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