Question

【題目】已知奇函數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）若對所有的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）函數(shù)是R上的增函數(shù),證明見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì),可知,代入即可求得的值.

（2）利用定義,,作差后,將整式變形后即可判斷符號,進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性.

（3）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合單調(diào)遞增,即可將不等式變形為;結(jié)合輔助角公式及恒成立問題,解關(guān)于m的不等式組即可求得的取值范圍.

（1）若為奇函數(shù),

則,

解得.

（2）由（1）可知,.則是R上的增函數(shù).

證明：任取,

則

且

即

所以函數(shù)是R上的增函數(shù).

（3）若對所有的恒成立,

因為是奇函數(shù),

對所有的恒成立.

因為是R上的增函數(shù),

對所有的恒成立.

即對所有的恒成立.

利用輔助角公式變形可得

因為對所有的恒成立.

.

,

解得.