Question

已知A，B，C是橢圓W：＋y²＝1上的三個點，O是坐標原點．

(1)當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；

(2)當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)    (2) 不可能,理由見解析

【解析】解：(1)橢圓W：＋y²＝1的右頂點B的坐標為(2,0)．

因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分．

所以可設A(1，m)，

代入橢圓方程得＋m²＝1，即m＝±.

所以菱形OABC的面積是

|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.

(2)四邊形OABC不可能為菱形．理由如下：

假設四邊形OABC為菱形．

因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，

所以可設AC的方程為y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．

由

消y并整理得(1＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－4＝0.

設A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，則＝－，＝k·＋m＝.

所以AC的中點為M.

因為M為AC和OB的交點，

所以直線OB的斜率為－.

因為k·≠－1，所以AC與OB不垂直．

所以四邊形OABC不是菱形，與假設矛盾．

所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形．