已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)M（
6
，1，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)A、B為橢圓C上相異兩點(diǎn)，且
OA
⊥
OB
，判定直線AB與圓O：x2+y2=
8
3
的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（1）由
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
(
6
)2
a2
+
1
b2
=1
，解得：
a2=8
b2=4
c2=4
，故橢圓C的方程為
x2
8
+
y2
4
=1．（4分）
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的方程為：y=kx+m，
由
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，（1分）
則△=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0，
由韋達(dá)定理得：
x1+x2=-
4km
1+2k2
x1•x2=
2m2-8
1+2k2
，（1分）
則y1•y2=（kx1+m）•（kx2+m）
=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=
m2-8k2
1+2k2
．
由
OA
⊥
OB
得：
x1x2+y1y2=0，（1分）
即
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0，化簡得：3m2-8k2-8=0，（1分）
因?yàn)閳A心到直線的距離d=
|m|
1+k2
，（1分）
d2=
m2
1+k2
=
m2
1+
3m2-8
8
=
8
3
，
而r2=
8
3
，∴d2=r2，即d=r．（1分）
此時直線AB與圓O相切
當(dāng)直線AB的斜率不存在時，由
OA
⊥
OB
可以計(jì)算得A，B的坐標(biāo)為(
2
6
3
，±
2
6
3
)或(-
2
6
3
，±
2
6
3
)．
此時直線AB的方程為x=±
2
6
3
．
滿足圓心到直線的距離等于半徑，即直線AB與圓O相切．（1分）
綜上，直線AB與圓O相切．（1分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)M（
6
，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，若直線l是圓O：x2+y2=
8
3
的一條切線，試證明∠AOB=
π
2
．它的逆命題成立嗎？若成立，請給出證明；否則，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)M（
6
，1，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)A、B為橢圓C上相異兩點(diǎn)，且
OA
⊥
OB
，判定直線AB與圓O：x2+y2=
8
3
的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)過點(diǎn)M(
6
，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）求橢圓方程
（2）已知直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若直線l是圓O：x2+y2=
8
3
的一條切線，求證：∠AOB=
π
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•德陽三模）已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)M(
6
，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知與圓x2+y2=
8
3
相切的直線l與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求
OA
•
OB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•宿州三模）已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為E，直線EF截圓x2+y2=1所得弦長為
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過D（-2，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，
AB
=2
AM
．試探究
|MD|
|MA|
的取值范圍．

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