Question

設(shè)f（x）=

1

x+2

+lg

1-x

1+x

．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明；
（2）若f（x）的反函數(shù)f^-1（x），證明方程f^-1（x）=0有唯一解；
（3）解不等式f[x（x-

1

2

）]＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）令分母不為0且真數(shù)大于0求出函數(shù)的定義域；利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得證．
（2）根據(jù)互為反函數(shù)的單調(diào)性相同，得到f^-1（x）遞減；求出f（0）的值，得到反函數(shù)有根，據(jù)單調(diào)證得根唯一．
（3）將

1

2

用f（0）代替，利用f（x）的單調(diào)性去掉法則f，注意定義域；解二次不等式組求出解集．

解答：（1）f（x）在（-1，1）上遞減
證明：函數(shù)的定義域?yàn)?span id="n9jx1td" class="MathJye">

x+2≠0 1-x 1+x ＞0

解得x∈（-1，1）
∵f′(x)=-

1

(x+2)2

-

2

1-x2

ln10＜0
∴f（x）在（-1，1）上遞減
（2）∵f（x）與f^-1（x）的單調(diào)性相同
∴f^-1（x）在定義域上遞減
∵f(0)=

1

2

∴f-1(

1

2

)=0
∴f^-1（x）=0有解，且唯一
（3）原不等式同解于f[x(x-

1

2

)]＜f(0)
∵f（x）在（-1，1）上遞減
∴

-1＜x(x- 1 2 )＜1 x(x- 1 2 )＞0

解得

1

2

＜x＜1或

1- 17

4

＜x＜0
∴解集為{x|

1

2

＜x＜1或

1- 17

4

＜x＜0}

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證明函數(shù)的單調(diào)性、考查函數(shù)單調(diào)時(shí)根唯一、考查利用函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式應(yīng)先將不等式化為f（m）＞f（n）（f（m）＜f（n））的形式．