Question

如圖，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，并且EC與平面ABCD所成的角為．

(1)求證EA⊥CD；(2)求二面角E－FC－D的大��；(3)求D點(diǎn)到平面EFC的距離．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)∵ABCD是矩形， ∴CD⊥AD． 又平面ADE⊥平面ABCD，交線為AD， ∴CD⊥平面ADE 而EA平面ADE，于是EA⊥CD． (2)在平面ADE內(nèi)作EG⊥AD于G．由于平面ADE⊥平面ABCD，且AD為交線，故EG⊥平面ABCD．連結(jié)GF，GC．因此∠ECG為EC和平面ABCD所成的角，故∠ECG=．由已知可求得EG＝a，GC=a，GD=a，CD=a，F(xiàn)G=a，EF=FC=a，EC=a．于是有，即△EFC為等腰直角三角形．故GF⊥FC，故GF⊥FC．所以∠EFG為二面角E－FC－D的平面角，且∠EFG＝，即二面角E－FC－D為． (3)由(2)連結(jié)DF，D點(diǎn)到平面EFC的距離即三棱錐D－EFC的高h(yuǎn)．因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A0/0059/0417/af10e45c15c97a18fe29a7b96c1a11c6/C/Image49149.gif">，故·GE=h．由此可求得h＝a，即點(diǎn)D到平面EFC的距離a．