Question

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

2

，且經(jīng)過點(diǎn)（4，-

10

）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)F₁、F₂為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線C上一點(diǎn)M滿足F₁M⊥F₂M，求△MF₁F₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，且推導(dǎo)出a=b，把點(diǎn)(4，-

10

)代入能求出雙曲線C的方程．
（Ⅱ）由題設(shè)知F1(-2

3

 ， 0)，F2(2

3

 ， 0)，設(shè)M（x₀，y₀），由F₁M⊥F₂M，推導(dǎo)出

x

2 0

+

y

2 0

=12，由此能求出△MF₁F₂的面積．

解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
∴設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）
∵離心率為

2

，
∴e=

c

a

=

2

，∴a=b，
又∵雙曲線過點(diǎn)(4，-

10

)，
∴

16

a2

-

10

a2

=1，解得a²=6，
∴所求雙曲線C的方程為

x2

6

-

y2

6

=1．    …（4分）
（Ⅱ）∵c²=a²+b²=12，∴F1(-2

3

 ， 0)，F2(2

3

 ， 0)，
設(shè)M（x₀，y₀），
則

F1M

=(x0+2

3

 ， y0)，

F2M

=(x0-2

3

 ， y0)，
∵F₁M⊥F₂M，∴

F1M

•

F2M

=0，即

x

2 0

+

y

2 0

=12，
又∵

x

2 0

-

y

2 0

=6，∴

x

2 0

=9，

y

2 0

=3．
∴S△MF1F2=

1

2

|F1F2|•|y0| =

1

2

×4

3

×

3

=6．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的求法，考查三角形面積的求法，解題時(shí)要注意待定系數(shù)法的合理運(yùn)用，要熟練掌握雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．