Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，拋物線C上的點(diǎn)M（2，m）到焦點(diǎn)F的距離為3．
（Ⅰ）求拋物線C的方程：
（Ⅱ）過點(diǎn)（2，0）的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4

6

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），且

p

2

+2=3，由此能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y2=4x ，  y=k(x-2) ，

得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，由此利用弦長公式能求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
拋物線C上的點(diǎn)M（2，m）到焦點(diǎn)F的距離為3，
∴設(shè)拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
M到準(zhǔn)線的距離為3，即

p

2

+2=3，解得p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2=4x ，  y=k(x-2) ，

得k²x²-（4k²+4）x+4k²=0，
根據(jù)韋達(dá)定理，x1+x2=

4(k2+1)

k2

，x₁x₂=4．
∴|AB|2=(1+k2)|x1-x2|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[

16(k4+2k2+1)

k4

-16]
=16(1+k2)

2k2+1

k4

=96
整理得4k⁴-3k²-1=0，解得k=±1．
∴直線l的方程為x-y-2=0或x+y-2=0．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．