Question

設(shè){a_k}為等差數(shù)列，公差為d，a_k＞0，k=1，2，…，2n+1．
（1）證明a＞a_2n-1•a_2n+1；
（2）記b_k=，試證lg b₁+lg b₂+…+lg b_n＞lg a_2n+1-lg a₁．

Answer 1

分析：（1）欲證明：a＞a_2n-1•a_2n+1先作差：a-a_2n-1•a_2n+1=[a₁+（2n-1）d]²-[a₁+（2n-2）d][a₁+2nd]最后化簡(jiǎn)得到d²＞0從而得到證明；
（2）由（1）知

a 2 2n

a 2 2n-1

＞

a2n+1

a2n-1

，結(jié)合放縮法即可證得

a 2 2n

a 2 2n-1

＞

a2n+1

a2n-1

，分別令n=1，2，…，n得到n個(gè)式子相乘即可證得結(jié)論．

解答：解：（1）證明：a-a_2n-1•a_2n+1
=[a₁+（2n-1）d]²-[a₁+（2n-2）d][a₁+2nd]
=a₁²+（4n-2）a₁d+（2n-1）²d²-[a₁²+（4n-2）a₁d+（4n²-4n）d²]
=d²＞0   （d＞0）
∴a_2n²＞a_2n-1•a_2n+1   …（5分）
（2）由（1）知

a 2 2n

a 2 2n-1

＞

a2n+1

a2n-1

∴

a 2 2

a 2 1

＞

a3

a1

＞

a 2 4

a 2 3

＞

a5

a3

…

a 2 6

a 2 5

＞

a7

a5

…∴

a 2 2n

a 2 2n-1

＞

a2n+1

a2n-1

∴（

a2

a1

）²•（

a4

a3

）²•（

a6

a5

）²•…•（

a2n

a2n-1

）²＞（

a3

a1

）•（

a5

a3

）•（

a7

a5

）•…•

a2n+1

a2n-1

=

a2n+1

a1

即  b₁²•b₂²•b₃²•…•b_n²＞

a2n-1

a1

…（11分）
∴l(xiāng)gb₁+lg b₂+…+lg b_n＞

1

2

lga_2n+1-

1

2

lga₁ …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列、不等式的解法、數(shù)列與不等式的綜合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．