Question

已知公比為q（0＜q＜1）的無(wú)窮等比數(shù)列{a_n}各項(xiàng)的和為9，無(wú)窮等比數(shù)列{a_n²}各項(xiàng)的和為

81

5

．
（1）求數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公比q；
（2）對(duì)給定的k（k=1，2，3，…，n），設(shè)T^（k）是首項(xiàng)為a_k，公差為2a_k-1的等差數(shù)列，求T^（2）的前2007項(xiàng)之和；
（3）（理）設(shè)b_i為數(shù)列T^（i）的第i項(xiàng)，S_n=b₁+b₂+…+b_n：
①求S_n的表達(dá)式，并求出S_n取最大值時(shí)n的值．
②求正整數(shù)m（m＞1），使得

lim

n→∞

Sn

nm

存在且不等于零．
（文）設(shè)b_i為數(shù)列T^（i）的第i項(xiàng)，S_n=b₁+b₂+…+b_n：求S_n的表達(dá)式，并求正整數(shù)m（m＞1），使得

lim

n→∞

Sn

nm

存在且不等于零．

Answer 1

分析：（1）依題意，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可以出一個(gè)方程組，解這個(gè)方程組，得到數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公比q．
（2）由an=3×(

2

3

)n-1，知數(shù)列T^（2）的首項(xiàng)為t₁=a₂=2，公差d=2a₂-1=3，由此能求出T^（2）的前2007項(xiàng)之和．
（3）（理）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=3(2i-1)(

2

3

)i-1-(i-1)；①Sn=45-(18n+27)(

2

3

)n-

n(n-1)

2

；由此計(jì)算得b1=3，b2=5，b3=

14

3

，b4=

29

9

，b5=

4

3

，b6=-

53

81

＜0，所以S_n當(dāng)n=5時(shí)取最大值．②

lim

n→∞

Sn

nm

=

lim

n→∞

45

nm

-

18n+27

nm

(

2

3

)n-

n(n-1)

2nm

，由此分類(lèi)討論進(jìn)行求解．
（文）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=3(2i-1)(

2

3

)i-1-(i-1)；Sn=45-(18n+27)(

2

3

)n-

n(n-1)

2

；

lim

n→∞

Sn

nm

=

lim

n→∞

45

nm

-

18n+27

nm

(

2

3

)n-

n(n-1)

2nm

，由此分類(lèi)討論進(jìn)行求解．

解答：解：（1）依題意可知，

a1 1-q =9 a21 1-q2 = 81 5

?

a1=3 q= 2 3

．
（2）由（1）知，an=3×(

2

3

)n-1，所以數(shù)列T^（2）的首項(xiàng)為t₁=a₂=2，公差d=2a₂-1=3，S2007=2007×2+

1

2

×2007×2006×3=6043077，即數(shù)列的前2007項(xiàng)之和為6043077．
（3）（理）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=3(2i-1)(

2

3

)i-1-(i-1)；
①Sn=45-(18n+45)(

2

3

)n-

n(n-1)

2

；
由

bn≥bn-1 bn≥bn+1

，解得n=2，
計(jì)算可得b1=3，b2=5，b3=

14

3

，b4=

29

9

，b5=

4

3

，b6=-

53

81

＜0，
因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，b_n＞b_n+1，所以S_n當(dāng)n=5時(shí)取最大值．
②

lim

n→∞

Sn

nm

=

lim

n→∞

45

nm

-

18n+27

nm

(

2

3

)n-

n(n-1)

2nm

，
當(dāng)m=2時(shí)，

lim

n→∞

Sn

nm

=-

1

2

，當(dāng)m＞2時(shí)，

lim

n→∞

Sn

nm

=0，所以m=2．
（文）b_i=a_i+（i-1）（2a_i-1）=（2i-1）a_i-（i-1）=3(2i-1)(

2

3

)i-1-(i-1)；Sn=45-(18n+27)(

2

3

)n-

n(n-1)

2

；

lim

n→∞

Sn

nm

=

lim

n→∞

45

nm

-

18n+27

nm

(

2

3

)n-

n(n-1)

2nm

，
當(dāng)m=2時(shí)，

lim

n→∞

Sn

nm

=-

1

2

，當(dāng)m＞2時(shí)，

lim

n→∞

Sn

nm

=0，所以m=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的極限和運(yùn)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．