Question

已知tan（π+α）=3．求：
（1）

2cos(π-α)-3sin(π+α)

4cos(-α)+sin(2π-α)

；
（2）sin2α-sin(α+

3π

2

)cos(α+

π

2

)+2；
（3）

1

1+sin(α+π)cos(α-π)

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知條件為tanα=3．
（1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，然后分子分母同時(shí)除以cosα，得到有關(guān)tanα的計(jì)算式，代入計(jì)算即可．
（2）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將原式化簡(jiǎn)為

3sin2α-cosαsinα+2cos2α

sin2α+cos2α

，分子分母同時(shí)除以cos²α，即可解答．
（3）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將原式化簡(jiǎn)為

sin2α+cos2α

sin2α+cos2α+sinαcosα

，分子分母同時(shí)除以cos²α，即可解答．

解答： 解；由已知tan（π+α）=tanα=3．
（1）

2cos(π-α)-3sin(π+α)

4cos(-α)+sin(2π-α)

=

-2cosα+3sinα

4cosα-sinα

=

-2cosα+3sinα cosα

4cosα-sinα cosα

=

-2+3tanα

4-tanα

=

-2+9

4-3

=7．
（2）sin2α-sin(α+

3π

2

)cos(α+

π

2

)+2
=sin²α-cosαsinα+2（sin²α+cos²α）
=

3sin2α-cosαsinα+2cos2α

sin2α+cos2α

=

3sin2α-cosαsinα+2cos2α cos2α

sin2α+cos2α cos2α

=

3tan2α-tanα+2

tan2α+1

=

3•9-2+2

9+1

=

13

5

．
（3）

1

1+sin(α+π)cos(α-π)

=

sin2α+cos2α

sin2α+cos2α+sinαcosα

=

sin2α+cos2α cos2α

sin2α+cos2α+sinαcosα cos2α

=

tan2α+1

tan2α+1+tanα

=

9+1

9+1+3

=

10

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，正弦，余弦與正切之間的轉(zhuǎn)化，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等知識(shí)在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的綜合運(yùn)用．屬于中檔題．