Question

某市共有100萬居民的月收入是通過“工資薪金所得”得到的，如圖是抽樣調(diào)查后得到的工資薪金所得X的頻率分布直方圖．工資薪金個(gè)人所得稅稅率表如表所示．表中“全月應(yīng)納稅所得額”是指“工資薪金所得”減去3500元所超出的部分（3500元為個(gè)稅起征點(diǎn)，不到3500元不繳稅）．工資個(gè)稅的計(jì)算公式為：“應(yīng)納稅額”=“全月應(yīng)納稅所得額”乘以“適用稅率”減去“速算扣除數(shù)”．

全月應(yīng)納稅所得額	適用稅率（%）	速算扣除數(shù)
不超過1500元	3	0
超過1500元至4500元	10	105
超過4500元至9000元	20	555
…	…	…

例如：某人某月“工資薪金所得”為5500元，則“全月應(yīng)納稅所得額”為5500-3500=2000元，應(yīng)納稅額為2000×10%-105=95（元）
在直方圖的工資薪金所得分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，工資薪金所得落入該區(qū)間的頻率作為x取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率．
（Ⅰ）試估計(jì)該市居民每月在工資薪金個(gè)人所得稅上繳納的總稅款；
（Ⅱ）設(shè)該市居民每月從工資薪金所得交完稅后，剩余的為其月可支配額y（元），試求該市居民月可支配額y的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得到5組區(qū)間的中點(diǎn)值，再由直方圖得到x取各組中點(diǎn)值的概率，由沒組的中點(diǎn)值減去3500得到全月應(yīng)納稅所得額，然后利用工資個(gè)稅的計(jì)算公式求出每一組相應(yīng)的工資個(gè)稅，作和后得到該市居民每月在工資薪金個(gè)人所得稅上繳納的總稅款；
（Ⅱ）由工資減去個(gè)稅得到5組居民月可支配額y，列出分布列后乘以相應(yīng)的概率作和得該市居民月可支配額y的數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）工資薪金所得的5組區(qū)間的中點(diǎn)值依次為3000，5000，7000，9000，11000，
x取這些值的概率依次為0.15，0.3，0.4，0.1，0.05，
算得與其相對應(yīng)的“全月應(yīng)納稅所得額”依次為0，1500，3500，5500，7500（元），
按工資個(gè)稅的計(jì)算公式，相應(yīng)的工資個(gè)稅分別為：0（元），1500×3%-0=45（元），
3500×10%-105=245（元），5500×20%-555=545（元），7500×20%-555=945（元）；
∴該市居民每月在工資薪金個(gè)人所得稅上繳納的總稅款為：
（45×0.3+245×0.4+545×0.1+945×0.05）×10⁶=2.1325×10⁸（元）；
（Ⅱ）這5組居民月可支配額y取的值分別是y₁，y₂，y₃，y₄，y₅
y₁=3000（元）；y₂=5000-45=4955（元）；y₃=7000-245=6755（元）；
y₄=9000-545=8455（元）；y₅=11000-945=10055（元）；
∴y的分布列為：

y	3000	4955	6755	8455	10055
P	0.15	0.3	0.4	0.1	0.05

∴該市居民月可支配額的數(shù)學(xué)期望為：
Ey=3000×0.15+4955×0.3+6755×0.4+8455×0.1+10055×0.05=5986.75（元）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)模型的選擇即應(yīng)用，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．