Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=4，a₄=16，a_n＜a_n+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得等比數(shù)列{a_n}的公比q，繼而可求得其首項(xiàng)a₁，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，可求b_n=n，從而可求T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n．

解答：解：（1）∵q²=

a4

a2

=

16

4

=4且a_n＜a_n+1，
∴q=2，
∴a₁=

a2

q

=

4

2

=2為首項(xiàng)．
∴通項(xiàng)公式為：a_n=a₁•q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ，（n∈N^*）
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，
則b_n=log22n=n．
∴{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．　
∴T_n=

(1+n)×n

2

=

1

2

（n²+n）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．