Question

有下列命題：①y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的圖象中相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為π，②y=

x+3

x-1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱，③關(guān)于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，則a=-1，④命題p：對(duì)任意x∈R，都有sinx≤1；則￢p：存在x∈R，使得sinx＞1．其中真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：對(duì)于①，化簡函數(shù)的解析式為y=

1

2

cos2x，故函數(shù)的周期為

2π

2

，可得①不正確．
對(duì)于②，根據(jù)函數(shù)的解析式為y=1+

4

x-1

，它的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，可得②不正確．
對(duì)于③根據(jù)判別式等于零求得a=-1，從而得出③正確．
對(duì)于④根據(jù)命題的否定的定義可得結(jié)論正確．從而得出結(jié)論．

解答： 解：由于y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=（

2

2

cosx+

2

2

sinx）•（

2

2

cosx-

2

2

sinx）
=

1

2

（cos²x-sin²x）=

1

2

cos2x，故函數(shù)的周期為

2π

2

=π，
故函數(shù)的圖象中相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為

π

2

，故①不正確．
由于y=

x+3

x-1

=

x-1+4

x-1

=1+

4

x-1

，故它的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，故②不正確．
由于關(guān)于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，故有（-2a）²+4a=0，求得a=-1或a=0（舍去），
故③正確．
由于命題p：對(duì)任意x∈R，都有sinx≤1；則￢p為：存在x∈R，使得sinx＞1，故④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象的周期性、對(duì)稱性，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．