Question

已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(3，－2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．

Answer 1

答案：x＋y－1=0
解析：

直線l滿足的兩個幾何條件是： (1)過點(diǎn)(3，－2)； (2)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，若設(shè)a，b分別為l在兩軸上的截距，則有a＝b，但要注意a＝b＝0時的情形． 解法1：依題意，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)其斜率為k，則可得直線的方程為y＋2=k(x－3)． 令x＝0，得y＝－2－3k；令y＝0，得． 由題意． 解得k=－1，或． ∴l的方程為y＋2＝－(x－3)，或． 即為x＋y－1＝0，或2x＋3y＝0． 解法2：設(shè)直線l在兩軸上的截距為a． (1)若a＝0，則直線l過原點(diǎn)，此時l的方程為2x＋3y=0． (2)若a≠0，則l的方程可設(shè)為． ∵l過點(diǎn)(3，－2)，，即a＝1． ∴直線l的方程為x＋y＝l，即為x＋y－1＝0． 綜合(1)(2)可知，直線l的方程為2x＋3y＝0，或x＋y－1＝0． 點(diǎn)撥：對于該題，容易產(chǎn)生如下的錯誤解法： 錯解1：由于直線l的截距相等，故直線l的斜率為±＝l。 若k=1，則直線方程為y＋2=x－3，即x－y－5＝0； 若k=－1，則直線方程為y＋2=－(x－3)，即為x＋y－l＝0. 錯解2：由題意，直線在兩軸上的截距相等，可設(shè)直線的方程為：，由于直線過點(diǎn)（3，－2)則有，∴a=1即所求的方程為x＋y－1=0。 在上述兩種錯解中，錯解1忽視了截距的意義，截距不是距離，它可正可負(fù)，也可以為0，當(dāng)k=1時，直線x－y－5=0在兩軸上的截距分別為5和－5，它們不是相等的；另外，這種解法還漏掉了直線在兩軸上的截距均為0時的特殊情形；錯解2中，沒有注意到截距式方程的適用范圍，同樣也產(chǎn)生了漏解。