試題分析:本題主要考查對稱區(qū)間上函數(shù)解析式、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問,把所求范圍轉(zhuǎn)化為已知范圍代入到已知解析式,再利用奇偶性整理解析式;第二問,先將
代入到
和
中,構(gòu)造新函數(shù)
,所求證的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為
,對
和
求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性,求出函數(shù)最值,代入到轉(zhuǎn)化的式子中驗(yàn)證對錯(cuò)即可;第三問,先假設(shè)存在最小值3,對
求導(dǎo),分情況討論a,通過
是否在區(qū)間
內(nèi)討論a的4種情況,分別判斷函數(shù)的單調(diào)性,且數(shù)形結(jié)合求出函數(shù)最值,令其等于3,解出a的值.
(1)設(shè)
,則
,所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050003612464.png" style="vertical-align:middle;" />是定義在
上的奇函數(shù),所以
故函數(shù)
的解析式為
2分
(2)證明:當(dāng)
且
時(shí),
,設(shè)
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050004283800.png" style="vertical-align:middle;" />,所以當(dāng)
時(shí),
,此時(shí)
單調(diào)遞減;當(dāng)
時(shí),
,此時(shí)
單調(diào)遞增,所以
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824050004454882.png" style="vertical-align:middle;" />,所以當(dāng)
時(shí),
,此時(shí)
單調(diào)遞減,所以
所以當(dāng)
時(shí),
即
6分
(3)解:假設(shè)存在實(shí)數(shù)
,使得當(dāng)
時(shí),
有最小值是3,
則
(。┊(dāng)
,
時(shí),
.
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
,不滿足最小值是3
(ⅱ)當(dāng)
,
時(shí),
,
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
,也不滿足最小值是3
(ⅲ)當(dāng)
,由于
,則
,故函數(shù)
是
上的增函數(shù).所以
,解得
(舍去)
(ⅳ)當(dāng)
時(shí),則當(dāng)
時(shí),
,此時(shí)函數(shù)
是減函數(shù);當(dāng)
時(shí),
,此時(shí)函數(shù)
是增函數(shù).
所以
,解得
綜上可知,存在實(shí)數(shù)
,使得當(dāng)
時(shí),
有最小值3 12分