Question

如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面,，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．                                                   

（Ⅰ）求證：直線；

(Ⅱ) 求直線與平面的距離；

（Ⅲ）若，求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

 (1)在矩形ABCD中，AD∥BC，又

AD∥平面PBC                            

(2)如右圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A－xyz.設(shè)D(0，a,0)，則B (，0,0)，C(，a,0)，P(0,0，)，E(，0，)．

因此＝(，0，)，＝(0，a,0)，＝(，0，－)．

則·＝0，·＝0，所以AE⊥平面PBC.又由AD∥BC知AD∥平面PBC，

故直線 AD與平面PBC的距離為點(diǎn)A到平面PBC的距離，即為||＝.  

(3)因?yàn)閨|＝，則D(0，，0)，C(，，0)．

設(shè)平面AEC的法向量n₁＝(x₁，y₁， z₁)，則n₁·＝0，n₁·＝0.

又＝(，，0)，＝(，0，)，故

所以y₁＝－x₁，z₁＝－x₁.可取x₁＝－，則n₁＝(－，2，)．

設(shè)平面DEC的法向量n₂＝(x₂，y₂，z₂)，則n₂·＝0，n₂·＝0，

又＝(，0,0)，＝(，－，)，故

所以x₂＝0，z₂＝y₂，可取y₂＝1，則n₂＝(0,1，)．

故cos〈n₁，n₂〉＝＝.